菜鸟的菜地: basic staff

1 central slice theory

1.1 expression of projection

$P(r,\theta) = \int_{\infty}^{-\infty} f(x,y)\delta(xcos\theta + ysin\theta - r)dxdy$

1.2 Central slice theory

目标：证明对投影的一维傅里叶变换得到的系数等于对应投影的二维傅里叶变换系数

Goal : prove that the 1D Fourier transform of the Projection == 2D Fourier transform

$P(w) = F(xcos\theta,ysin\theta)$

$P(w) = \int_{\infty}^{-\infty} P(r,\theta) e^{-2 \pi iwr}dr = \int_{\infty}^{-\infty} \int_{\infty}^{-\infty} \int_{\infty}^{-\infty} f(x,y)\delta(xcos\theta + ysin\theta - r)e^{-2 \pi iwr}dxdydr$

$= \int_{\infty}^{-\infty} \int_{\infty}^{-\infty}f(x,y) \int_{\infty}^{-\infty}\delta(xcos\theta + ysin\theta - r)e^{-2 \pi iwr}drdxdy$

$= \int_{\infty}^{-\infty} \int_{\infty}^{-\infty}f(x,y)e^{-2 \pi i(xcos\theta + y sin\theta)w}dxdy$

$\int_{\infty}^{-\infty} \int_{\infty}^{-\infty}f(x,y)e^{-2 \pi i(xu + y v)}|_{u = wcos\theta,v = wsin\theta} dxdy$

$= F(xcos\theta,ysin\theta)$

2 Filtered Back Projection(FBP) for parallel projection

希望通过反变换投影的一维傅里叶变换来重建图像

$f(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(u,v) e ^{2\pi i(xu+yv)}dudv$ // inverse 2d Fourier transform

$= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} F(w,\theta) e^{2\pi i (xwcos\theta + ywsin\theta)}wdwd\theta$ // from Cartesian coordinate system to polar coordinate system

$= \int_{0}^{\pi} [\int_{-\infty}^{\infty} F(w,\theta) e^{2\pi i (xcos\theta + ysin\theta)w}|w|dw] d\theta$ //变换积分限F(w, /theta) = F(-w,/theta + /pi).

F(w, /theta) 就是投影的一维傅里叶变换 , 所以中括号里的部分就是对经过ramp filter 滤波后的数据进行一维傅里叶逆变换，第二个积分就是back projection。

菜鸟的菜地

2011年5月9日星期一

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